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La hiérarchie enchevêtrée

Le théorème d’incomplétude

Cette organisation à niveaux hiérarchiques enchevêtrés n’existe pas que dans les systèmes physiques. Il est possible de la trouver dans tout système logiquement agencé et « suffisamment riche », suffisamment riche signifiant : qui est capable de dire quelque chose de lui-même. Ce qui est le plus spécifique au vivant peut également exister dans des systèmes immatériels, des systèmes logiques. Ainsi ces niveaux enchevêtrés se trouvent également dans la science la plus dure et la plus pure : l’arithmétique !

 

Démonstration

Les théorèmes d’arithmétique que nous connaissons séparent le niveau hiérarchique des nombres : 2, 248, 78 etc. et celui des énoncés sur les nombres : a+b=b+a etc. Mais l’arithmétique est suffisamment riche pour contenir également des énoncés à hiérarchie enchevêtrée. Au début du XXème siècle, le mathématicien Kurt Gödel a démontré le premier théorème du vivant : le théorème d’incomplétude. On peut le représenter par le schéma ci-après qui ressemble étrangement à celui de l’organisme unicellulaire.

Ce théorème dit à peu près ceci :

Quand un système est suffisamment riche pour pouvoir dire des choses sur lui-même, il y a des assertions « vraies » (des théorèmes) qui sont indémontrables, et d’autres qui sont contradictoires. Indémontrable ne signifie pas « Je ne suis pas assez intelligent pour le démontrer » mais « Je suis suffisamment intelligent pour savoir que je ne pourrai jamais le démontrer » .

Le principe de la démonstration de ce théorème est que l’on peut considérer les nombres à deux niveaux hiérarchiques différents :

1)   un nombre peut servir à exprimer une quantité,

2) un nombre peut servir à coder des opérations sur les nombres : je code l’opération d’addition par  le chiffre 18, la soustraction par 19 etc.

Je peux ainsi écrire des théorèmes dans lesquels certains nombres peuvent intervenir à deux niveaux de signification différents, en tant que nombre et en tant que code d’opération sur les nombres ; et là ... patatras !

Et nous, nous sommes vivant, nous sommes des systèmes riches, nous sommes fiers de notre rationalité (du moins en occident). Le théorème d’incomplétude s’applique donc à nos beaux discours rationnels dès qu’ils parlent un peu de nous-mêmes : il y a des choses vraies que nous ne pourrons jamais établir rationnellement et nous sommes capables de dire rationnellement des choses insensées !

Les paradoxes du langage

Le langage est un système suffisamment riche pour pouvoir parler sur lui-même . On peur énoncer la phrase suivante qui est grammaticalement juste :

« Cette phrase est fausse »

Elle dit d’elle-même qu’elle est fausse.

Si elle est fausse, alors « Cette phrase est fausse » est vrai.

Si « Cette phrase est fausse » est vrai, alors elle est fausse

Etc.

Bien sûr nous n’utilisons pas tous les jours des phrases aussi tordues ! Mais sur le plan de la logique, n’oublions pas que de telles phrases existent et sont légitimes. Elles sont la tache aveugle de notre rationalité. Il y a des zones où nous ne pouvons pas aller  ; nous sommes limités. Nous ne pouvons pas prétendre à une rationalité illimitée. L’ambition du siècle des lumières - passer de l’obscurantisme à la connaissance rationnelle - bute sur notre incomplétude ! Nous ne disposerons jamais d’une logique absolue et universelle.

A moins peut-être d’abandonner la logique du tiers exclu et d’utiliser une logique tétravalante ! (oui OU non OU oui et non OU ni oui ni non).

Dans notre réflexion sur le vivant, gardons à l’esprit que nous sommes des vivants et que nous parlons du vivant, donc de nous-mêmes : nous sommes à l’intérieur de cette boucle hiérarchique enchevêtrée. Ce que nous pourrons dire ne sera jamais rationnellement complet et pourra être logiquement contradictoire.

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Mise à jour le 10/03/2010