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La physique ou la vie ?

En langage newtonien, conventionnel, classique, je dis :

« Je suis dans cette salle à Foix ».

En langage probabiliste je dirais :

« La probabilité que je sois dans un lieu défini d’Ariège est nulle partout, sauf quand ce lieu est cette salle à Foix. Dans ce cas la probabilité a la valeur 1 c’est à dire 100% ».

Cela veut dire la même chose ; ces deux phrases sont équivalentes. Pour ceux qui auront le courage d’affronter un langage plutôt difficile, disons la même chose en langage mathématique :

Pour exprimer que le point X est de coordonnées Xt, on définit une fonction de probabilité de Xt, de la forme δ(X-Xt) qui a une valeur nulle partout, sauf quand X=Xt. Dans ce cas la fonction prend la valeur 1.

Ces fonctions très inhabituelles s’appellent des fonctions δ. Elles ont la particularité d’être des fonctions discontinues, c’est à dire que leur valeur passe sans transition aucune de la valeur 0 à la valeur 1, et cela en un seul point seulement. C’est une de ces fonctions δ que l’on va utiliser pour exprimer la probabilité de trouver X sur le segment 0-1 : ρt (X) = δ(X-Xt).

En revenant à Bernoulli, exprimons en termes probabilistes que Xt+1 = 2 x Xt (modulo1). On utilisera une fonction δ, mais transformée par ce qu’on appelle un opérateur, noté U :

ρt(X) = δ(X-Xt) devient à t+1 :

ρt+1(X) = U ρt(X) = U δ(X-Xt).

 

Alors qu’une fonction transforme une valeur X en une autre valeur Y, un opérateur transforme une fonction en une autre fonction. Dans le cas de la transformation du boulanger, l’opérateur U est « facilement » calculable, dixit Ilya Prigogine.

Une fois U calculé et explicité, on cherche à trouver quelles sont les solutions de l’équation ρt+1(X) = U δ(X-Xt).

On trouve d’abord sans surprise une fonction discontinue δ qui correspond à Xt+1 = 2 x Xt (modulo 1).

Mais la grande surprise est qu’on trouve une autre solution, une fonction de probabilité régulière qui n’existait pas dans la formulation conventionnelle de la mécanique newtonienne. Il en est de même pour tous les systèmes instables.

Les applications stables ne présentent pas ce supplément de solutions probabilistes ; voilà la différence fondamentale. Certes il existe une position du volant pour reculer tout droit en marche arrière, mais il est infiniment peu probable de la trouver, comme de trouver un point sur un segment de droite. C’est pour cela qu’il est si difficile de reculer avec une remorque !

La formulation en termes probabilistes de la transformation du boulanger l’a faite passée d’une transformation déterministe à une transformation probabiliste.

L’application de Bernoulli semi probabiliste

Essayons de remonter le temps avec l’application de Bernoulli.

Quel est l' inverse de multiplier par 2 ? C’est de diviser par 2. Quand on répète la multiplication d’un nombre décimal par 2, on finit par dépasser 1 ; mais quand on le divise, le résultat tend vers 0. L’application de Bernoulli est donc irréversible.

Ou bien alors on adopte un point de vue probabiliste : le point Xt-1 a conduit à Xt, mais le point 0,5+Xt-1 aussi. On a alors :

Xt-1 = ½(Xt)  ou bien  Xt-1 = ½(1+Xt)

Si on fait remonter le temps à l’application de Bernoulli, on est amené, pour qu ‘elle soit vraiment complète, à l’exprimer d’une manière probabiliste ! À la première itération, il y a deux valeurs possibles, à la seconde il y en a 4, à la troisième 8 et à la nème 2n. Au final, le point Xt0 peut provenir de presque n’importe quel endroit du segment 0-1 pour autant que Xt0 soit un nombre irrationnel.

t

X

-6

0,00

-5

0,01

-4

0,01

-3

0,03

-2

0,06

-1

0,12

0

0,23

1

0,46

2

0,92

3

0,84

4

0,68

5

0,36

6

0,72

7

0,44

8

0,88

9

0,76

10

0,52

11

0,04

12

0,08

13

0,16

14

0,32

15

0,64

16

0,28

17

0,56

18

0,12

19

0,24

20

0,48

L’approche probabiliste

Ces séries sont redoutables, bien qu’elles aient l’air très banales. Elles conduisent non pas à des paradoxes, mais à modifier une certaine vision que nous avons de la mécanique.

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Mise à jour le 10/03/2010