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La physique ou la vie ?

Examinons maintenant comment, dans la transformation de Bernoulli ou du boulanger, deux point voisins s’éloignent l’un de l’autre.

Deux points aussi voisin que l’on veut au départ (distance A=0,000001 par exemple) s’éloignent l’un de l’autre d’une distance exponentielle de :

Rationnel ou irrationnel, ça change tout !

Pourquoi dans la transformation du boulanger, un nombre irrationnel conduit-il à une trajectoire complètement différente de celle initiée par un nombre rationnel ?  Pour le comprendre nous devons passer par un peu d’arithmétique.

 

On compte habituellement en base 10. On peut aussi très bien compter en base 2 et c’est ce que font les ordinateurs. Dans ce cas  - langage binaire - ils ne disposent pour compter que des chiffres 0 et 1. Cela donne :

On remarque que multiplier un nombre par deux (1, 2, 4, 8, 16...) revient quand on compte en base 2 à lui ajouter un zéro (1, 10, 100, 1000, 10000...) . Multiplier par deux en base 2 un nombre avec beaucoup de décimales revient à déplacer d’un rang vers la gauche tous les chiffres (ou ce qui revient au même de déplacer la virgule d’un rang vers la droite)

Si on interprète la transformation du boulanger ou de Bernoulli en base deux, à chaque itération, puisque nous multiplions par 2, cela revient à déplacer en bloc tous les chiffres d’un rang vers la gauche et quand la valeur 1 apparaît comme chiffre de l’unité, on le remplace par 0.

Les décimales des nombres rationnels ont la propriété de finir par être soit des 0, soit une suite périodique :

 

57/100=0,57000000000

4/7= 0,571428 571428 571428 571428 ...

 

Quand la valeur de départ de X est un nombre rationnel, et comme à chaque itération les chiffres décimaux sont décalés d’un rang vers la gauche, on repasse exactement au bout d’un moment par les mêmes valeurs : 0,2 0,4 0,8 0,6 ... ce qui produit un polygone, un attracteur cyclique, même si ce dernier est long et compliqué.

Un nombre irrationnel en revanche ne présente aucune périodicité dans la suite de ses décimales. A chaque multiplication par 10, le déplacement d’un rang vers la gauche fera apparaître de nouvelles décimales qui sembleront aléatoires, comme s’il y avait une « réinvention » continue des décimales. Il n’y a plus d’attracteur cyclique ; les point se déplacent « presque » partout dans le plan et ne repassent jamais au même endroit. On dit que la suite est chaotique.

Nous avons donc bien deux populations de points origine : les points rationnels associés à un attracteur cyclique et les points irrationnels associés à des trajectoires chaotiques.

Une précision au delà de la physique

Il est facile, avec un peu de patience d’aligner 50 chiffres après la virgule et même bien davantage. Mais quelle est la signification physique d’une telle précision pour décrire le crayon tenu sur la pointe ou la voiture attelée qui recule ?

Si nous descendons vers l’infiniment petit par des étapes de mille fois plus petit à chaque fois - ce qui correspond sensiblement à 10 itérations (210=1024), nous obtenons par exemple en partant du km :

Le diamètre du centre-ville de Pamiers,

Un bouquet d’hortensias,

Une fourmi,

Une algue microscopique,

Une macro-molécule,

Les atomes,

Les quarks.

A cette échelle, c’est la mécanique quantique qui s’applique. Elle nous dit qu’il n’est pas possible de préciser à un instant donné la position d’une particule car elle a indissociablement une extension spatiale et une extension temporelle. Et pourtant nous ne sommes qu’à la 7ème itération et pouvons encore en faire une infinité d’autres !

 

En conclusion, la précision que nous pouvons donner aux conditions initiales sort rapidement de toute signification physique. Ceci anéantit tous les raisonnements  du type : si on connaît les conditions initiales, alors on peut prévoir ce qui va se passer dans le futur ». C’est une phrase qui malgré son apparence raisonnable, est vide de sens pour ce qui concerne les systèmes instables, car il est impossible de spécifier les conditions initiales : il y faudrait une précision réellement infinie qui sort du domaine des sciences physiques !

Parvenu à ce stade, le déterminisme n’est plus soutenable comme modélisation des systèmes instables ... Mais le coup de grâce n’est pas encore donné.

La divergence exponentielle

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Mise à jour le 10/03/2010