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La physique ou la vie ?

Les propriétés extraordinaires des systèmes instables

Ceux d’entre vous qui ont essayé de reculer avec une voiture à laquelle une remorque était attelée ont pu constater que cela ne ressemblait pas du tout à la conduite en marche avant ! C’est une chose évidente ; mais si l’on écrit les équations de la trajectoire de la voiture en marche avant et que l’on calcule d’où elle vient (en remontant le temps, t négatif), le résultat est que l’on revient sur son itinéraire. Or à l’évidence, c’est faux. Pourquoi ? Parce que la voiture attelée est un système stable en marche avant, et un système instable en marche arrière. Un système instable a manifestement un comportement très particulier.

Les équations décrivant la trajectoire d’une voiture soumise à des forces forment un système déjà très compliqué. Nous allons nous approcher de la notion d’instabilité avec quelque chose de beaucoup plus simple.

 

Une approche de l’instabilité

Sur une feuille de papier nous allons déplacer un point sur un segment de droite gradué de 0 à 1, en fonction du temps, un temps qui ne sera pas continu comme le nôtre, mais qui varie d’une unité à la fois, comme les images d’un film sur une bobine de cinéma. Et nous allons choisir une description mathématique qui malgré son apparence très éloignée de la marche arrière, a beaucoup d’analogie avec elle parce qu’elle est très sensible aux conditions initiales, ce qui est la caractéristique fondamentale des systèmes instables. Très sensible signifie que deux états, deux positions infiniment rapprochés l’une de l’autre au départ, s’éloignent rapidement de plus en plus l’un de l’autre, les termes « infiniment » et « rapidement » ayant un sens mathématique bien défini.

Chaque fois que le temps s’écoule et passe de la valeur t à la valeur t+1, la valeur de l’ordonnée X au temps t est multipliée par 2 et quand le résultat dépasse 1, on supprime le 1 et on garde toutes les décimales. Ça revient à raisonner non pas sur un plan, mais sur un cylindre dont la circonférence mesure 1 de sorte qu’après chaque tour de cylindre on se retrouve avec une ordonnée entre 0 et 1.

En langage mathématique cela s’écrit :

 

Xt+1 = 2*Xt (modulo 1)

L’application de Bernoulli

0

A titre d’exemple, le graphique a débuté au temps t=1 avec X=0,23 et 30 itérations successives sont représentées.

Au temps t=2  X2=0,23*2=0,46.

Au temps t=3 X3=0,92

Au temps t=4 X4=0,92*2=1,84, on supprime l'unité :  X4=0,84.

Etc.

Si maintenant à la place de 0,23 comme valeur initiale de X on rajoute un tout petit écart, soit par exemple 0,230001, on obtient la courbe rose qui se distingue très rapidement de l’autre, malgré le très faible écart initial. De plus on n’observe plus aucune régularité et la courbe va se promener dans tout l’intervalle 0-1.

En réalité il y a deux catégories de nombre :

On s’aperçoit par ailleurs qu’au bout de 20 itérations, on retrouve la valeur X=0,92 déjà rencontrée puis de nouveau  après 20 autres et cela jusqu’à l’infini.

L’application de Bernoulli nous a permis d’approcher trois notions :

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Quelques équilibres instables

Un équilibre instable se caractérise par le fait que si on s’écarte d’une quantité infiniment petite de son point d’équilibre, le système va s’en écarter spontanément de plus en plus vite. Essayez de faire tenir un crayon sur sa pointe ou un oeuf sur sa partie la plus pointue, vous n’y arriverez pas, alors même qu’il existe une position où cela est théoriquement possible.

Tous les jeux de hasard, le jeu de dés, le flipper, la roulette des casinos sont également basés sur ce type de dispositif dans lesquels le futur n’est pas prévisible.

 

Mise à jour le 10/03/2010